sepic电路理论浅析

SEPIC（Single Ended Primary Inductor Converter）电路，是一种经典的DC-DC电源电路，从它的名字也能够看出，它的输入端串联了一个电感，因此能够减小输入电流纹波。说到输入串电感，不难想到Boost电路也具有这个特点，然而Boost只能实现升压，而SEPIC能够实现升降压。说到升降压，不难想到Buck-Boost电路，然而传统Buck-Boost的输出电压是反极性的，也就是输出负电压，这限制了Buck-Boost电路的应用范围，而SEPIC电路能够输出正极性电压。这些优点也使得SEPIC电路在当时取得了广泛的应用。

下图展示了带隔离变压器的SEPIC经典结构。

上图中， 𝑢𝑔 是输入电压， 𝑅𝐿 是负载电阻。注意，这里忽略了变压器原边和副边的电阻和漏自感以及励磁电阻（即忽略铁损），从而将仅剩的励磁电感 𝐿2 抽象出来。实际的励磁电感是一个随着磁芯饱和程度而变化的量，但这里暂且认为 𝐿2 为定值。 𝐿2 的后方是一个理想变压器，也可以认为就是一个用于电压折算的简单比例环节，电压增益为 𝑘 ， 𝑘=𝑛2𝑛1 , 𝑛1 和 𝑛2 为变压器原边和副边线圈匝数。若不使用隔离变压器，而直接用电感取代，则认为 𝑘=1 。

一.电路工作状态分析

1.1 CCM（Continuous Current Mode）

由于电容两端电压不能突变且电容值较大，所以电容电压纹波一般较小，这里取每个电容在一个开关周期内的电压平均值代替其瞬时值，当电路稳定工作时，该平均值保持不变。

MOSFET开通时：

$\mu_{𝐿1}(𝑜𝑛)=\mu_𝑔$ (1-1)

$𝑢_{𝐿2}(𝑜𝑛)=−𝑢_{𝐶1}$ (1-2)

$𝑖_{𝐶1}(𝑜𝑛)=𝑖_{𝐿2}$ (1-3)

MOSFET截止时：

$\large 𝑢_𝑔−𝑢_{𝐿1(𝑜𝑓𝑓)}−𝑢_{𝐶1}−𝑢_{𝐿2(𝑜𝑓𝑓)}=0$ (1-4)

$\large 𝑘𝑢_{𝐿2(𝑜𝑓𝑓)}=𝑢_𝑜$ (1-5)

$\large 𝑖_{𝐶1(𝑜𝑓𝑓)}=𝑖_{𝑖𝑛}$ (1-6)

根据电感 𝐿1 , 𝐿2 的伏秒平衡可得：

$\large u_{L1(off)}(1-D)+u_{L1(on)}D=0$ (1-7)

$\large u_{L2(off)}(1-D)+u_{L2(on)}D=0$ (1-8)

其中D是占空比，即：

$\large D=\frac{T_{on}}{T}=T_{on}f_s$ (1-9)

其中 𝑓𝑠 是MOSFET开关频率。联立(1-1)(1-2)(1-4)(1-5)(1-7)(1-8)可得电压传递函数（电压增益）表达式：

$\large \frac{u_o}{u_g}=\frac{kD}{1-D}$ (1-10)

还可以得出电容 𝐶1 两端的电压（这个结果比较有趣，请读者耐心推导）：

$\large u_{C1}=u_g$ (1-11)

可见，CCM模式下SEPIC的电压增益仅与占空比和变压器变比有关。且随着占空比的增大，电压增益逐渐增大，理论上输出电压可以达到0和无穷大。电容 𝐶1 上的电压平均值始终与输入电压相等。

接下来计算电感电流。 这里仿照前面的方法，使用电感电流的平均值代替其瞬时值。从电路图中可以看出，𝐿1 的电流其实就是输入电流，根据输入输出功率平衡可得：

$\large u_gi_{in}=\frac{u_o^{2}}{R_L}$ (1-12)

其中， 𝑅𝐿 是负载电阻。由此可得：

$\large i_{L1}=i_{in}=\frac{u_o^2}{u_gR_L}$ (1-13)

根据电容 𝐶1 的安秒平衡可得：

$\large i_{C1(off)}(1-D)+i_{C1(on)}D=0$ (1-14)

联立(1-3)(1-6)(1-14)得：

$\large i_{L2}=-\frac{i_{in}(1-D)}{D}=-\frac{u_o^2}{u_gR_L}\frac{ku_g}{u_o}=-\frac{ku_o}{R_L}$ (1-15)

然后计算电流纹波，电流纹波可以由MOSFET开通或截止时的电流变化量表征，根据电感的特性方程：

$\large L\frac{\Delta i_L}{\Delta t}=u_L$

取MOSFET开通时的电流变化量，对于 𝐿1 :

$\large \Delta t=t_{on}=\frac{D}{f_s},u_L=u_{L1(on)}=u_g$

对于 𝐿2 :

$\large \Delta t=t_{on}=\frac{D}{f_s} $ $, u_L=u_{L2(on)}=-u_{C1}=-u_g$

因此， 𝐿1 和 𝐿2 的电流纹波由下式给出：

$\large |\Delta i_L|_{L=L_1,L_2}=\frac{|u_L|\Delta t}{L}=\frac{u_gD}{Lf_s}$ (1-16)

由(1-10)可得，在CCM模式下，满足：

$\large D = \frac{u_o}{ku_g+u_o}$ (1-17)

将(1-17)代入(1-16)可得CCM模式下的电流纹波：

$\large |\Delta i_L|_{L=L_1,L_2}=\frac{u_gu_o}{Lf_s(ku_g+u_o)}$ (1-18)

可见CCM模式下,𝐿1 和 𝐿2的电流纹波大小与其电感值和MOSFET开关频率成反比，𝐿1 ,𝐿2越大，开关频率越高，电流纹波越小。下图展示了𝐿1 ,𝐿2的电流波形。方便起见, 之后的讨论中忽略正负, 认为 Δ𝑖𝐿=|Δ𝑖𝐿| 。

当MOSFET开通时，输入电压直接加在 𝐿1的两端， 𝐿1 被充电，所以当MOSFET截止时 𝐿1 必然放电；因为 𝐶1 两端电压为正值，当MOSFET开通时，这个电压反向加在变压器原边，副边也感应出负电压，使二极管截止，同时该电压也反向加在 𝐿2 上，使其放电，所以当MOSFET截止时， 𝐿2 必然充电。（注意这里说的充电放电是针对图中标注的电流正方向而言的）

值得注意的是，当MOSFET处于截止状态时，当 𝑖𝐿1 减小至于 𝑖𝐿2 相等时，流过变压器副边的电流降为0，二极管进入截止状态，原本建立的CCM模型失效，电路的工作状态由CCM切换至DCM(Discrete Crruent Mode)。为了防止该现象发生，需满足：

$\large i_{L1(min)}>i_{L2(max)}$ (1-19)

因为CCM模式下两电感的电流波形为锯齿波，而由(1-13)(1-15)指出的电感电流大小实际上是电流的平均值，而对于锯齿波型而言，其平均值恰好处于两极值的中心位置，因此(1-19)可变形为：

$\large i_{L1}-\frac{\Delta i_{L1}}{2}>i_{L2}+\frac{\Delta i_{L2}}{2}$ (1-20)

将(1-13)(1-15)(1-18)代入(1-20)得：

$\large R_L<f_s\frac{2L_1L_2}{L_1+L_2}(k+\frac{u_o}{u_g})^2$ (1-21)

(1-21)展示了电路工作在CCM模式的条件，考虑到一般DC-DC的应用场景要求控制输出电压恒定，从(1-21)可以看出，在这种情况下，增大输入电压、增大负载电阻、减小开关频率和减小电感量都不利于电路工作在CCM模式。

1.2 DCM（Discrete Crruent Mode）

当(1-21)不被满足时，电路工作在DCM模式，这时，当MOSFET截止时，流过二极管的电流会逐渐耗尽，二极管最终截止，于是衍生出了SEPIC的第三个工作状态，如下图所示：

这时，由于 𝐶1 上的电压与输入电压 𝑢𝑔 相等， 𝐿1 , 𝐿2 承担的电压均为0，其电流大小均保持不变。DCM下𝐿1 , 𝐿2的电流波形如下：

当MOSFET关断时， 𝐿1 电流减小， 𝐿2 电流先反向减小、再正向增加，设经过时间 𝑡 后， 𝐿1 电流达到其最小值，同时 𝐿2 电流达到其最大值，这时两个电感上电流达到饱和，且饱和值相等：

$\large i_{L1(min)}=i_{L2(max)}=i_{sat}$ (1-22)

如图, MOSFET关断后经过了时间 𝑡 后 𝐿1 , 𝐿2 的电流达到饱和并相等。根据 𝐿1 , 𝐿2 充放电平衡，即MOSFET关断和开通时电感电流的变化量相等，可得：

$\large \frac{u_ot}{kL}|_{L=L_1,L_2}=\Delta i_L|_{L=L_1,L_2}$ (1-23)

在(1-23)中，首先看等号左边的 𝑢𝑜𝑘𝐿|𝐿=𝐿1,𝐿2 ，它表示MOSFET关断时两个电感电流变化的斜率，这是怎么得出来的呢？其实，一旦电路的工作状态进入了DCM，虽然在前两个状态(图中的ON状态和OFF1状态)中(1-1)至(1-6)仍然成立，但是伏秒平衡方程(1-7)(1-8)不再成立了，然而，新的伏秒平衡方程形式与(1-7)(1-8)非常类似，我们仍然可以通过新的伏秒平衡方程得出(1-11)的结果，（这一步也交给读者去推导验证），然后我们把(1-11)代到OFF1工作状态的方程(1-4)中，再结合(1-5)就可以得到OFF1状态下的 𝑢𝐿1 和 𝑢𝐿2 ，它们都可以由 𝑢𝑜 表示，得到了电感电压，就得到了电感电流的变化率，将这个斜率乘以OFF1状态的持续时间 𝑡 ，就得到了两个电感在MOSFET关断状态下的电流变化量，也就是(1-23)中等式左边的值。

再看(1-23)的等号右边，它表示MOSFET开通时两个电感电流的变化量，尽管电路工作在DCM模式，但之前我们得到的MOSFET开通状态下的结论(1-16)仍成立，于是我们把(1-16)代入(1-23)，就可以解出 𝑡 ：

$\large t=\frac{ku_gD}{u_of_s}$ (1-24)

接下来我们计算两个电感上电流的平均值，这里有一点需要非常注意：与CCM不同，这时的𝐿1 , 𝐿2的电流波形不再是简单的锯齿波，其平均值不能再由其极值的中点值表征，其平均值的计算方法应回归定义式，即一个周期内的积分除以时间，这里直接给出计算结果而不再展示计算步骤：

$\large i_{L1}=i_{sat}+\frac{u_gD(DT+t)}{2L_1},T=\frac{1}{f_s}$ (1-25)

$\large i_{L2}=i_{sat}-\frac{u_gD(DT+t)}{2L_2},T=\frac{1}{f_s}$ (1-26)

联立(1-25)(1-26)消去 $\large 𝑖_{𝑠𝑎𝑡}$ ，然后就到了关键的一步。注意，(1-25)(1-26)中给出了DCM下电流平均值 $\large 𝑖_{𝐿1}$ ， $\large 𝑖_{𝐿2}$的表达式，在之前讨论CCM时的(1-13)(1-15)中我们也给出了 $\large 𝑖_{𝐿1}$ ， $\large 𝑖_{𝐿2}$ 的表达式，其中(1-13)是由电路输入输出功率平衡得出的，所以在DCM下必然也成立；(1-15)本质上是由电容 𝐶1的安秒平衡得出的，而我们总是认为电容的电压是不会“断”的，所以在DCM下其安秒平衡方程仍然成立，所以(1-15)也成立，我们联立(1-13)(1-15)，再加上 𝑡 的表达式(1-24)就可得出DCM下电压增益表达式：

$\large \frac{u_o}{u_g}=D\sqrt{\frac{R_L(L_1+L_2)}{2L_1L_2f_s}}$ (1-27)

还可以解出 𝑖𝑠𝑎𝑡 ：

$\large i_{sat} = \frac{u_o^2}{u_gR_L}[1-\frac{L_2}{L_1+L_2}(1+\frac{ku_g}{u_o})]$ (1-28)

将(1-27)代入(1-16)可得DCM下纹波电流表达式：

$\large \Delta i_L|_{L=L_1,L_2}=\frac{u_o}{L}\sqrt{\frac{2L_1L_2}{R_Lf_s(L_1+L_2)}}$ (1-29)

1.3 总结

模式：$\large Mode = \left\{\begin{matrix} CCM,R_L<f_s\frac{2L_1L_2}{L_1+L_2}(k+\frac{u_o}{u_g})^2 \\ DCM,R_L>f_s\frac{2L_1L_2}{L_1+L_2}(k+\frac{u_o}{u_g})^2 \end{matrix}\right.$ (1-30)

电压增益：$\large \frac{u_o}{u_g}=\left\{\begin{matrix} \frac{kD}{1-D},CCM \\ D\sqrt{\frac{R_L(L_1+L_2)}{2L_1L_2f_s}},DCM \end{matrix}\right.$ (1-31)

电流平均值：$\large i_{L1}=i_{in}=\frac{u_o^2}{u_gR_L},CCM\&DCM$ (1-32)
$\large i_{L2}=-\frac{ku_o}{R_L}, CCM\&DCM$ (1-33)
电流纹波：$\large \Delta i_L|_{L=L_1,L_2}= \left\{\begin{matrix} \frac{u_gu_o}{Lf_s(ku_g+u_o)} ,CCM \\ \frac{u_o}{L}\sqrt{\frac{2L_1L_2}{R_Lf_s(L_1+L_2)}},DCM \end{matrix}\right.$ (1-34)

电感 𝐿1 电流最大值：

$\large i_{L1}= \left\{\begin{matrix} i_{L1}+\frac{\Delta i_{L1}}{2}\ ,CCM \\ i_{sat}+\Delta i_{L1},DCM \end{matrix}\right.$ (1-35)

电感 𝐿2 电流最小值（反向最大值）：

$\large |i_{L2(min)}| = \left\{\begin{matrix} -i_{L2}+\frac{\Delta i_{L2}}{2},CCM \\ -i_{sat}+\Delta i_{L2},DCM \end{matrix}\right.$ (1-36)

二.元件参数计算

2.1 MOSFET最大承受电压

只有在MOSFET截止时承受电压，这时：

$\large u_{MOSFET(off)}-u_{C1}-u_{L2(off)}=0$ (2-1)

当 𝑢𝐿2(𝑜𝑓𝑓) 不为零时 𝑢𝑀𝑂𝑆𝐹𝐸𝑇(𝑜𝑓𝑓) 最大，将(1-5)(1-11)代入(2-1)可得：

$\large u_{MOSFET(off)}=u_g+\frac{u_o}{k}$ (2-2)

正如前面所说的，DC-DC一般以控制 𝑢𝑜 恒定为目的，所以这里认为 𝑢𝑜 为定值而 𝑢𝑔 在一定范围内变化，可得：$\large u_{MOSFET(max)}=u_{g(max)}+\frac{u_o}{k}$ (2-3)

注意这里 𝑢𝑜 和 𝑢𝐶1 其实是有纹波的，严格来讲应该代入其最大值计算，但是由于电压纹波一般情况下非常小，这些纹波造成的误差甚至还不如器件参数不准确造成的误差大，所以可以忽略不计。之后的推导也同样忽略电容电压纹波。

2.2 二极管最大承受电流

同样只有在MOSFET截止时二极管才可能流过电流，电流大小为：

$\large i_D = \frac{i_{L1}-i_{L2}}{k}$ (2-4)

在一个开关周期内，当MOSFET刚关断时， 𝑖𝐿1 有最大正值而 𝑖𝐿2 有最小负值，这时流过二极管的电流最大，为：

$\large i_{D(max)} = \frac{i_{L1(max)}+|i_{L2(min)}|}{k}$ (2-5)

2.3 二极管最大反向承受电压

只有在两种情况下二极管会处在截止状态，第一种情况是CCM下的MOSFET开通状态；第二种情况是DCM下的第三工作状态。在这两种情况下，对二极管两端电压进行分析，其右侧电压恒为 𝑢𝑜 ，左侧电压在这两种情况下分别为和𝑘𝑢𝐿2(𝑜𝑛) 和 0 ，将(1-2)(1-11)代入，显然前者情况下承受的电压更高，其值为：

$\large u_{D(reverse)}=u_o+ku_g$ (2-6)

最大值为：

$\large u_{D(reverse)_{max}}=u_o+ku_{g_{max}}$ (2-7)

2.4 MOSFET最大正向电流

只有在MOSFET开通时其承受正向电流，这时：

$\large i_{MOSFET}=i_{L1}-i_{L2}$ (2-8)

这里仿照2.2中的分析方法，可得：

$\large i_{MOSFET(max)} =i_{L1(max)}+|i_{L2(min)}|$ (2-9)

2.5 电感选值

电感的选值的主要依据是电流纹波。假定要求额定输入和额定负载下电感纹波不超过电流均值的a（通常5%<a<40%）倍，有：

$\large \Delta i_{L}|_{L=L_1,L_2}<ai_{L}|_{L=L_1,L_2}$ (2-10)

一般情况下当系统工作在额定状态时负载较重，处在CCM模式。

对于 𝐿1 ,将(1-13)(1-18)代入(2-10)可得：

$\large L_1>\frac{R_L}{af_s}\frac{1}{\frac{u_o}{u_g}(k+\frac{u_o}{u_g})}$ (2-11)

对于 𝐿2 ,将(1-15)(1-18)代入(2-10)可得：

$\large L_2>\frac{R_L}{akf_s}\frac{1}{k+\frac{u_o}{u_g}}$ (2-12)

当然这里还要使用(1-21)来验证电路是否工作在CCM。